الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(1 - λ) (- 1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- λ$ في $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $- λ \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.3.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.2

أضف $- λ$ و $λ$ .

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.2.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

خطوة 5.2.2

اطرح $6$ من $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 7 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$λ^{2} = 7$

خطوة 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{7}$

خطوة 7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$λ = \sqrt{7}$

خطوة 7.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$λ = - \sqrt{7}$

خطوة 7.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

الصيغة العشرية:

$λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$